продолжение линейные элементы электрических цепей часть 3

Содержание

3.2. Виды модуляции сигналов.

Амплитудная модуляция —

вид модуляции, при которой изменяемым параметром несущего сигнала является его амплитуда.

Пусть

(

)

— информационный сигнал, |

(

) < 1

(

)

— несущее колебание.

(1)

Здесь

— некоторая константа, называемая коэффициентом модуляции. Формула (1) описывает несущий сигнал

(

)

, модулированный по амплитуде сигналом

(

)

с коэффициентом модуляции

. Предполагается также, что выполнены условия:

Выполнение условий (2) необходимо для того, чтобы выражение в квадратных скобках в (1) всегда было положительным. Если оно может принимать отрицательные значения в какой-то момент времени, то происходит так называемая перемодуляция (избыточная модуляция). Простые демодуляторы (типа квадратичного детектора) демодулируют такой сигнал с сильными искажениями.

Амплитудной модуляции свойственны следующие существенные недостатки:

1) приему амплитудно-модулированных сигналов сильно мешают индустриальные и атмосферные помехи;

2) в процессе модуляции лампа используется по мощности полностью только при подаче максимального мгновенного модулирующего напряжения, а во все остальное время она недоиспользуется.

Эти недостатки в значительной степени устраняются при частотной и фазовой модуляции.

Рис 1. Амплитудная модуляция с различным коэффициентом модуляции.

Рис 2. Спектр АМ колебания.

Основными характеристиками частотной модуляции являются

девиация

(отклонение) и

индекс модуляции

Девиация частоты (frequency deviation)

– наибольшее отклонение значения модулированного сигнала от значения его несущей частоты. Единицей девиации частоты является

герц

(Hz), а также кратные ему единицы.

Индекс модуляции (modulation index)

–

отношение девиации частоты к частоте модулирующего сигнала.

Колебание называют частотно-модулированным (ЧМ), если частота его изменяется пропорционально передаваемому колебанию (например звуковому) S(t). Следовательно, угловая частота такого колебания должна равняться:

где

— некоторые постоянные, которые выбираются так, чтобы частота

изменялась в желаемых пределах.

Рис 3.

Пример частотной модуляции по линейному закону.

Рис 4.

Пример частотной модуляции. Вверху — информационный сигнал на фоне несущего колебания. Внизу — результирующий сигнал.

Фазовая модуляция

— вид модуляции, при которой фаза несущего колебания управляется информационным сигналом. Фазомодулированный сигнал

s(t)

имеет следующий вид:

где

g(t)

— огибающая сигнала;

(

)

является модулирующим сигналом;

— частота несущего сигнала;

— время.

Фазовая модуляция, не связанная с начальной фазой несущего сигнала, называется относительной фазовой модуляцией (ОФМ).

Рис 5.

Пример фазовой модуляции — двоичная фазовая модуляция BPSK.

Рис 6.

AM,FM модуляции.

Действующие значения силы тока и напряжения

Из предыдущей формулы видно, что среднее значение квадрата силы тока равно половине квадрата амплитуды силы переменного тока:

−i2=I2max2..

Определение

Действующее значение силы переменного тока — величина, равная квадратному корню, взятому из среднего значения квадрата тока. Обозначается как I.

$I = \sqrt{{- i}^{2}} = \frac{I_{m a x}}{\sqrt{2}}$

Смысл действующего значения силы переменного тока заключается в том, что оно равно силе постоянного тока, выделяющего в проводнике то же количество теплоты, что и переменный ток за это же время.

Аналогично определяется действующее значение напряжения U:

U=√−u2=Umax√2..

Именно действующие значения силы тока и напряжения определяют мощность P переменного тока:

P=I2R=UI

Пример №3. Найти мощность переменного тока, если амплитуда силы тока равна 2 А, а сопротивление цепи равно 5 Ом.

P=I2R

I=Imax√2..

P=(Imax√2..)2R=I2max2..R=222..·5=10 ⎛⎝Дж⎞⎠

Задание EF18735

продолжение линейные элементы электрических цепей часть 3 | энергетик В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут, E=6 В, r = 2 Ом, L = 1 мГн. В момент t = 0 ключ К размыкают. Амплитуда напряжения на конденсаторе в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний равна ЭДС источника. В какой момент времени напряжение на конденсаторе в первый раз достигнет значения E? Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь. Ответ запишите в мкс.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения в СИ.

2.Описать, что происходит в момент замыкания и размыкания цепи.

3.Выполнить решение задачи в общем виде.

4.Вычислить искомую величину, подставив известные данные.

Решение

Запишем исходные данные:

1 мГн = 10^–3Гн

Перед размыканием ключа К ток через конденсатор не идет, по катушке течёт ток:

$I_{0} = \frac{ε}{r}$

Напряжение на конденсаторе в начальный момент времени равно нулю, так как оно равно нулю на катушке: $U_{0 C} = 0$ В.

После размыкания ключа К в контуре возникают гармонические колебания напряжения между обкладками конденсатора и тока в контуре. Благодаря начальному условию ( $U_{0 C} = 0$ В) потенциал верхней обкладки конденсатора относительно нижней начинает меняться по закону:

$u = - U_{C m a x} sin . ω t$

Знак «–» в формуле связан с тем, что сразу после размыкания ключа К ток приносит положительный заряд на нижнюю обкладку конденсатора.

Циклическую частоту выразим из формулы Томсона:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{1}{\sqrt{L C}}$

Энергия электромагнитных колебаний в контуре сохраняется. Она определяется формулой:

Сейчас читают: 🚘 Замена гидронатяжителя цепи на Ниве и Chevrolet Niva | ▼ О Ладе ▼

$W = \frac{L i^{2}}{2} \frac{C u^{2}}{2} = \frac{C U_{C m a x}^{2}}{2} = \frac{L I_{0}^{2}}{2}$

Выразим максимальное напряжение на конденсаторе:

${C U}_{C m a x}^{2} = L I_{0}^{2}$

$U_{C m a x} = I_{0} \sqrt{\frac{L}{C}}$

Учтем, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна напряжению источника тока, а $I_{0} = \frac{ε}{r}$ . Тогда получим:

$U_{C m a x} = ε = I_{0} r = I_{0} \sqrt{\frac{L}{C}}$

Отсюда:

$\sqrt{\frac{L}{C}} = r$

$C = \frac{L}{r^{2}}$

Период колебаний в контуре определим через формулу Томсона:

$T = 2 π \sqrt{L C} = 2 π \sqrt{L \frac{L}{r^{2}}} = 2 π \frac{L}{r}$

Вспомним зависимость напряжения от времени:

$u = - U_{C m a x} sin . ω t$

Подставим известные данные для искомого момента времени:

$.$ $5 = - 5 sin . ω t$

Синус должен быть равен «–1» Это возможно, если с начального момента времени пройдет четверть периода:

$t = \frac{T}{4} = \frac{2 π}{4} \frac{L}{r} = \frac{π}{2} \frac{10^{- 3}}{2} \approx 7, 85 \cdot 10^{- 6} (с) = 7, 85 (м к с)$

Ответ: 7,85

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Мощность в цепи с резистором

В цепи переменного тока сила тока и напряжения меняются быстро, поэтому количество выделяемой энергии меняется так же быстро. Но заметить эти изменения невозможно. Чтобы найти среднюю мощность на участке цепи за много периодов, достаточно найти среднюю мощность за один период.

Определение

Средняя за период мощность переменного тока — отношение суммарной энергии, поступающей в цепь за период, к этому периоду.

Мощность постоянного тока определяется формулой:

P=I2R

Следовательно, мгновенная мощность в цепи переменного тока на участке с активным сопротивлением R равна:

p=i2R

Подставим в это выражение полученное ранее значение мгновенной силы переменного тока и получим:

p=(Imaxcos.ωt)2R

Вспомним из курса математики:

cos2.α=1 cos.2α2..

Отсюда:

p=I2max2..R(1 cos.2ωt)=I2maxR2.. I2maxR2..cos.2ωt

График зависимости мгновенной мощности от времени:

На протяжении первой четверти периода, когда cos.2ωt>0, мощность в любой момент времени больше величины I2maxR2…

На протяжении второй четверти периода, когда cos.2ωt<0, мощность в любой момент времени меньше этой величины.

Среднее за период значение cos.2ωt=0, следовательно, средняя за период мощность равна I2maxR2…

Средняя мощность −p равна:

−p=I2maxR2..=−i2R

Пример №2. Сила переменного тока в цепи меняется по закону i=Imaxcos.ωt.

p=(Imaxcos.ωt)2R=10(1·cos.(100π·1)2=10 (Дж)

Мощность цепи переменного тока

В периодическом синусоидальном режиме

Используя известное тригонометрическое преобразование

и обозначив

Среднее за период значение гармонической функции удвоенной частоты равно нулю.

Измерение мгновенного значения мощности переменного тока затруднено из-за сравнительно большой частоты колебаний (v = 50 Гц). Поэтому на практике принято пользоваться средней мощностью тока. Средняя мощность — это отношение энергии, потребляемой за один период, к периоду:

где

Потребляемая на участке цепи с резистором средняя мощность получила название активной мощности. Она необратимо преобразуется в джоулеву теплоту и другие виды энергии. Мощность, потребляемую на участках цепи с емкостным и индуктивным сопротивлениями, называют реактивной мощностью.

При передаче электрической энергии по цепи переменного тока ее необратимые преобразования происходят только на тех участках цепи, которые содержат резисторы. Такие участки цепи называют активной нагрузкой. На активной нагрузке электроэнергия превращается в теплоту или механическую работу.

Участок цепи с индуктивностью или емкостью называют реактивной нагрузкой. На участках цепи, которые состоят из чистых емкостных или индуктивных сопротивлений, электроэнергия не потребляется. В цепи с реактивными нагрузками происходит только перекачка энергии от генератора к нагрузке и обратно с неизбежными потерями в подводящих проводах.

При заданных Р и U ток является функцией cosj. Потери мощности на сопротивлении

В цепи с резистором j=0.

Коэффициент мощности cosj показывает, какая часть полной мощности, вырабатываемой генератором и передаваемой нагрузке, необратимо используется нагрузкой. Он играет важную роль в электротехнике. В самом деле, если в цепи имеется значительный сдвиг по фазе между колебаниями тока и э. д. с, то коэффициент мощности мал и нагрузка потребляет от генератора малую активную мощность.

Вместе с тем генератор должен вырабатывать полную мощность S. Эту же мощность должен отдавать генератору первичный двигатель. Таким образом, при низком коэффициенте мощности нагрузка потребляет лишь часть энергии, которую вырабатывает генератор. Оставшаяся часть энергии перекачивается периодически от генератора к потребителю и обратно и рассеивается в линиях электропередачи.

Максимально благоприятные условия передачи электроэнергии создаются в цепи, работающей в режиме резонанса. В самом деле, при приближении к резонансу амплитуда силы тока оказывается максимальной и коэффициент мощности стремится к единице. В этом случае активная мощность приближается к полной мощности, т. е. достигает максимума.

Повышение к. м. является важной народнохозяйственной задачей, от решения которой зависит эффективность использования вырабатываемой электроэнергии.

Уменьшение к. м. в промышленных цепях происходит в основном за счет содержащихся в них трансформаторов и асинхронных электродвигателей, имеющих значительные индуктивные сопротивления. Поэтому повысить к. м. при таких нагрузках можно путем подключения параллельно основной цепи компенсирующих конденсаторов, позволяющих приблизиться к режиму резонанса токов.

Сейчас читают: Замена заднего сальника коленчатого вала двигателя 1,4-1,6(8V) РеноСандеро | Renault | Руководство Renault

С целью повышения к. м. и экономии электроэнергии не следует допускать холостого хода (т. е. работы без нагрузки) трансформаторов и асинхронных электродвигателей, ибо в этом случае они представляют собой чисто индуктивные сопротивления и вызывают дополнительные потери мощности.

Коэффициент мощности (к. м.) ни в коем случае нельзя путать с коэффициентом полезного действия (к. п. д.). Так, например, при определенном соотношении емкости и индуктивности коэффициент мощности в данной цепи может оказаться равным единице. Коэффициент же полезного действия цепи всегда меньше единицы.

Продолжение линейные элементы электрических цепей часть 3 | энергетик

Тема 3. Цепи синусоидального тока

Общие сведения и определения
Комплексная амплитуда
Действующие значения синусоидальной функции
Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма
Изображение синусоидальной функции комплексными числами
Закон Ома в комплексной форме
Уравнения элементов в комплексной форме

§ 3.1. Общие сведения и определения:

Переменный ток имеет большее распространение, чем постоянный.

Объясняют это:

конструкция электродвигателей и генераторов переменного тока гораздо проще;
генераторы переменного тока могут быть выполнены для более высокого напряжения;
переменный ток легко преобразовывается с помощью трансформатора, что необходимо при распределении электроэнергии и т.д.

Переменный ток – ток, периодически меняющий свое значение и направление. Наибольшее значение переменного тока – его амплитуда.

Переменный ток характеризуется:

амплитудой;
периодом;
частотой;
фазой.

Амплитуда – наибольшие (положительные или отрицательные) величины.

Период – время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.

Частота – обратно периоду.

Фаза – характеризует состояние переменного тока в любой момент времени.

Основным видом переменного тока является синусоидальный (гармонический) ток. Закон изменения такого тока описывается синусоидальной функцией.

В линейных электрических цепях, в которых действуют синусоидальные источники, все электрические параметры изменяются по синусоидальному закону.

ЭДС: .

Напряжение: .

Ток: ;

где:

e(t), u(t), i(t) – мгновенные значения;

ε_m,U_m,I_m– амплитуды;

(ωt ψ) – фаза, [рад];

ω = 2π – угловая частота, [рад/с];

ƒ = 1Т – циклическая частота, [Гц];

Т – период, [с];

ψ_e, ψ_u, ψ_i– начальная фаза, [рад].

Любую синусоидальную функцию можно изобразить в виде графика, который называется графиком временных значений или временной диаграммой.

120

Любая синусоидальная функция задается тремя величинами: амплитудой, частотой и начальной фазой.

В разных электрических цепях частота может быть разной.

Автономные линейные электрические цепи – частота изменения тока, напряжения и ЭДС одинаковы.

Электрические цепи, в которых действуют синусоидальные ЭДС, напряжения и токи называются цепями синусоидального тока.

§ 3.2. Комплексная амплитуда:

Расчет цепей синусоидального тока с использованием мгновенных значений требует громоздкой вычислительной работы и применим для простейших электрических цепей.

Для расчета цепей синусоидального тока синусоидальную функцию заменяют эквивалентной величиной.

где j = √ — 1 – мнимая единица.

122 123

– комплексная амплитуда.

– сопряженная комплексная амплитуда.

– поворотный множитель.

Последняя запись означает, что синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости в виде двух векторов, длина которых равна U_m и которые равномерно вращаются со скоростями, равными ω в противоположные стороны.

§ 3.3. Действующие значения синусоидальной функции:

Действующее значение синусоидальной функции – ее количественная оценка.

Действующие значения – среднеквадратичные за период значения синусоидальной функции, то есть, если:

то действующее значение:

128

Аналогично и для тока I и ЭДС ε.

Часто используются выражения, связывающие между собой амплитуду и действующее значение:

Сейчас читают: Приора - расход топлива на 100 км

129 130

Действующее значение – это постоянная величина, которую обычно обозначают той же буквой, что и амплитуду, только без индекса m.

Действующее значение тока оказывает такое же тепловое действие на проводник с сопротивлением R, что и переменный ток, в течение времени, равном периоду. Поэтому большинство электроизмерительных приборов фиксируют и реагируют на действующие значения.

§ 3.4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма:

Электрическое состояние переменного тока описывается уравнениями Кирхгофа. Радиус-вектор, длина которого равна A_m, вращается в декартовой плоскости координат xyпротив часовой стрелки с частотой ω и поворачивается за время одного оборота на угол 2π, то есть 2T = 2π. Положение радиус-вектора относительно оси x в момент начала (t = 0) определяется углом ψa. За отрезок времени t₁радиус-вектор повернется на угол ωt₁ и его положение относительно оси x определяет угол ψ₁ = ψ_a ωt₁. За время t₂ радиус-вектор переместится на угол ψ2 = ψ_a ωt2 и займет положение, определяемое углом и т.д. В соответствии с определением синуса проекция вращающегося радиус-вектора на ось y определяется:

где a – проекция вектора на ось yв момент времени t.

При:

133 рис. а рис. б

Любому равномерно вращающемуся радиус-вектору соответствует некоторая синусоидальная функция, и наоборот.

Посмотрим, как условный графический образ синусоидальной функции – радиус-вектор – может быть применим при расчетах цепей переменного тока. Определим ток:

i = i₁ i₂,

если: и .

Как известно, сумма двух синусоид одинаковой частоты ωпредставляет собой также синусоиду частотой ω, то есть i = I_msin(ωt ψ) и, следовательно, задача сводится к нахождению амплитуды I_m и начальной фазы Ψ суммарного тока i. Искомые параметры I_m и Ψ можно найти, воспользовавшись известными тригонометрическими преобразованиями.

Проведем решение задачи с помощью радиус-векторов I_1m и I_2m, вращающихся с частотой ω, положение которых для момента времени t = 0 показаны на рисунке ниже и осуществим геометрическое суммирование этих радиус-векторов по правилу параллелограмма. Результирующий радиус-вектор I_m будет вращаться с частотой ω и является изображением некоторой синусоидальной функцией времени.

Следовательно, i = i₁ i₂– геометрическое изображение искомого тока.

138

Измерив дугу суммарного радиус-вектора и, зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду I_mтока. Непосредственно по чертежу определяется и начальная фаза Ψ.

Рассмотренная совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.

§ 3.5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами:

140 Для введения комплексного изображения перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости на плоскость комплексных чисел. Для чего совместим ось x с осью действительных чисел Re, а ось y– с Im.

Любому вектору A, расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:

Все три формы записи в соответствии с формулой Эйлера равнозначны:

Переход от одной формы записи к другой:

145

где a₁ – действительная часть;

a₂ – мнимая часть.

Запишем в трех формах выражение для единичных действительных и мнимых комплексных чисел ( A = 1):

147

где с₁ = a₁ b₁, а с₂ = a₂ b₂.

где C = AB.

150

Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока называется комплексным сопротивлением:

151

Модуль комплексного сопротивления, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока, а аргумент Ψ комплексного сопротивления – разности начальных фаз напряжения и тока:

152