Формула момента инерции диска, J

Все тесты

Геометрические моменты инерции

Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой[8]:

JVa=∫(V)r2dV,{displaystyle J_{Va}=int limits _{(V)}r^{2}dV,}

где, как и ранее

r

— расстояние от элемента

dV

до оси

a

Размерность

J_Va

— длина в пятой степени (

dimJVa=L5{displaystyle mathrm {dim} J_{Va}=mathrm {L^{5}} }

), соответственно единица измерения СИ —

⁵

Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой[8]:

JSa=∫(S)r2dS,{displaystyle J_{Sa}=int limits _{(S)}r^{2}dS,}

где интегрирование выполняется по поверхности

S

, а

dS

— элемент этой поверхности.

Размерность

J_Sa

— длина в четвёртой степени (

dimJSa=L4{displaystyle mathrm {dim} J_{Sa}=mathrm {L^{4}} }

), соответственно единица измерения СИ —

⁴

. В строительных расчетах, литературе и

часто указывается в

⁴

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

W=JSarmax.{displaystyle W={frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}

Здесь

r_max

— максимальное расстояние от поверхности до оси.

Динамика вращательного движения. момент инерции. теорема штейнера. кинетическая энергия вращающегося тела. момент силы. уравнение динамики вращательного движения. момент импульса. закон сохранения момента импульса.

Инерция, кинетическая энергия, работа

Приведем другой пример. Представь тяжелоатлета… Даже двух, которые решили поставить мировой рекорд и сдвинуть самолет. Им придется приложить немало сил, чтобы вначале разогнать самолет от нуля до некоторой скорости, а потом поддерживать эту скорость, преодолевая силу трения, направленную назад.

А к какому трюку прибегает фокусник, чтобы в случае со скатертью все предметы остались на столе? Правильно, нужно выдернуть скатерть за наименьшее время. Чем меньше время, тем меньше энергии перейдет с силой трения на предметы и они просто не успеют разогнаться.

Энергия движущегося тела называется кинетической энергией и измеряется в Джоулях. Если тело неподвижно, кинетическая энергия равна нулю.

Чтобы разогнать тело массой m до нужной скорости V из состояния покоя (например, самолет), нужно выполнить работу, равную кинетической энергии разогнанного тела (без учета разных потерь):

Работа по изменению кинетической энергии тела совершается за счет приложения к нему некоторой силы – силы тяжести, силы трения, силы воздействия на него другого тела (тяжелоатлета-силача, дующего ветра, реактивной тяги ракетного двигателя и пр.).

Пусть силач разогнал до 0.1 м/с (10 сантиметров в секунду) легковую машину массой 1200 кг и самолет Ил-76 массой 88 500 кг в космосе (не будем учитывать силу трения). Тогда для преодоления инерции этих тел ему пришлось сжечь мышечной энергии на 6 Дж и 442,5 Дж соответсвенно. Т.е. на преодоление инерции покоя у самолета у спортсмена уйдет в 74 раза больше энергии, чем на автомобиль.

Чтобы остановить тело массой m, движущееся со скоростью V, нужно совершить обратную работу, равную отрицательному значению кинетической энергии этого тела:

Т.е. чем больше скорость тела и его масса, тем больше энергии на преодоление инерции движения надо затратить.

Если выключить мотор, машина под действием силы трения ее движущихся частей друг о друга, силы трения о воздух корпуса и силы трения колес об асфальт остановится сама. Но остановить машину можно и быстрее, увеличив силу трения с помощью тормозных дисков, т.е. выжав педаль тормоза.

При равной скорости масса грузовика намного больше, а значит больше его кинетическая энергия. Двигаясь накатом грузовик остановится дальше, чем легковой автомобиль – его инертность выше. Кстати, можно ли остановить грузовик быстрее легкового автомобиля и при каких условиях?

История понятия «инерция»

До эпохи Возрождения, в Средние века, в западной философии общепринятой была аристотелевская теория движения. Ученик Платона, древнегреческий философ Аристотель (384 – 322 гг. до н. э.) утверждал, что в отсутствии внешней силы все объекты остановятся, и что движущиеся объекты продолжают двигаться только до тех пор, пока есть побуждающая к движению сила.

Это утверждение закономерно вытекало из реальных наблюдений.  При этом Аристотель объяснял движение снарядов, выпущенных из орудия, невидимым действием окружающей среды, которая каким-то образом продолжает двигать снаряд. При этом философ пришел к выводу, что такое движение в пустоте невозможно.

Принцип движения по инерции, который возник у Аристотеля для «движений в пустоте», гласил, что объект имеет тенденцию сопротивляться изменению движения.

Эта теория движения неоднократно оспаривалась. Например, в 6 веке византийский филолог Иоанн Александрийский (Иоанн Грамматик) раскритиковал тезисы Аристотеля, что среда поддерживает движения тела и что тело остановится в пустоте. В 11 веке персидский исламский врач, астроном, философ и писатель Ибн Сина [Авиценна] (980 – 1037 гг.) сделал вывод, что снаряд при отсутствии действия внешних сил, то есть в пустоте, не остановится.

Окончательно от аристотелевской теории отказались в ходе ряда открытий, предшествовавших научной революции XVII века.

Термин «инерция», от латинского слова «безделье» или «лень» (лат. inertia),  был впервые использован немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571 – 1630 гг.) в его книге «Epitome Astronomiae Copernicanae», которая была опубликована в трех частях в 1617–1621 гг.

Покой и движение объединил единым принципом современник Кеплера Галилео Галилей (1564 — 1642) — итальянский физик, механик, астроном, философ и математик. Он первый, кто направил зрительную трубу в небо, превратив её в телескоп. В 1609 году он создал свой первый телескоп с трёхкратным увеличением.

Галилео Галилей писал, что «если устранить все внешние препятствия, то тяжелое тело на сферической поверхности, концентрической Земле, будет поддерживать себя в том состоянии, в котором оно находилось; если его поместить в движение к западу (например), то оно будет поддерживать себя в этом движении».

Чтобы оспорить идею Аристотеля о естественности состояния покоя, Галилей проводил один из таких мысленных экспериментов. Если исключить силу трения, то шар, катящийся по склону оврага (холма), взлетит до той же высоты на противоположной стороне. Если второй склон постепенно наклонять, шар будет катиться все дальше и дальше и в горизонтальном положении склона будет катиться бесконечно долго.

Галилей сделал вывод, что «Тело, движущееся по ровной поверхности, будет продолжать движение в том же направлении с постоянной скоростью, если движение не будет нарушено».

Позднее, мысли Галилея будут уточнены и систематизированы Исааком Ньютоном. Исаак Ньютон (1642 – 1727) — английский физик, математик, механик и астроном, основатель классической физики. В своем труде «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), впервые опубликованном в 1687 году, он изложил закон всемирного тяготения и три закона динамики.

https://www.youtube.com/watch?v=S5u33knDwIA

Явление инерции, изначально сформулированное Галилеем, вошло в первый закон Ньютона.

Оговоримся, что согласно определению, законы Ньютона справедливы только для систем отсчета (система отсчета – это тело отсчета со связанной с ним системой координат, относительно которого можно вычислять положение тел, и система измерения времени, т.е. некоторые часы), которые принято называть инерциальными.

Посмотрим на второй закон Ньютона.

Чаще его записывают в виде:

так как в инерциальной системе отсчета сила является причиной ускорения тела.

Как видно из второй формулы, для тела неизменной массы ускорение тела (скорость изменения его скорости) прямо пропорционально силе, приложенной к телу (чем сильнее толкаем, тем быстрее тело разгоняется) и обратно пропорционально его массе (чем тяжелее тело, тем сложнее его разгонять).

Представим, что тело движется в вакууме и на него не действуют никакие силы (F=0). Значит и скорость его меняться не будет (a=0).

Инерция (лат. inertia — покой, постоянство, неизменность) – природное явление сохранения равномерного прямолинейного движения или состояния покоя любого тела, пока на него не действуют внешние силы или если действие сил скомпенсировано.

Инертность – свойство конкретного тела оставаться в покое или равномерно прямолинейно двигаться. От инертности зависит ускорение тела при приложении к нему внешних сил. Мерой количественного измерения инертности тела в прямолинейном движении является его масса. Больше масса – больше инертность тела, т.е. тем сложнее придать ему ускорение (разогнать или остановить).

Из-за большей чем у легковушки массы у грузовика инертность выше. Соответственно, и тормозной путь у него будет больше – нужно приложить большую силу, чтоб его остановить (хотя, можно поставить очень мощные тормоза). Говорить, что у грузовика больше инерция – некорректно.

Мерой инертности тела в прямолинейном движении выступает его масса. Больше масса – больше инертность тела.

Методика решения

Существует универсальный алгоритм, подходящий для расчёта параметра прямоугольника, треугольника, круга или другой фигуры произвольной формы. Допустим, есть сложное тело с заданной осью вращения. Необходимо найти момент его вращения. Для того чтобы решить поставленную задачу, используются два принципа:

• Аддитивность — свойство, обозначающее, что величина целого значения определяется суммой соответствующих ему частей.
• Формула нахождения момента для материальной точки I = m*r².

Всё тело можно разделить на мельчайшие частички, которые представляют собой материальные точки. Номера этих кусков обозначают в виде i. Масса произвольной части будет определяться как дельта mi. Пусть этот кусок находится на расстоянии ri от оси вращения O.

Эта формула является приближённой, так как точность зависит от массы частей и размера. Если кусочки, на которые разбивается тело, большие, считать их материальными точками нельзя. Чем мельче части, тем точнее будет результат. В соответствии с математическим анализом такие задачи решаются с помощью интегрирования. Понимая физический смысл момента инерции, можно отметить следующие зависимости:

• прямая пропорциональность массе;
• соответствие квадрату размера;
• изменение с учетом оси вращения.

Роль последнего пункта огромна. Например, если рассмотреть два момента вращения велосипедной спицы диаметром 2 мм и длиной 30 сантиметров, то можно увидеть зависимость от выбранной оси поворота.

Относительно вертикальной оси вращение обозначим I1, горизонтальной — I2. Подставив в формулы выражения, используемые для расчётов, можно получить отношение I1/I2 = (m*l2/12) / ((m*d2/8). После его упрощения будет верна запись I1/ I2 = (2/3)*(l/d)2. В итоге получится ответ 15000.

Момент инерции относительно плоскости

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости[9].

Если через произвольную точку O{displaystyle O} провести координатные оси x,y,z{displaystyle x,y,z}, то моменты инерции относительно координатных плоскостей xOy{displaystyle xOy}, yOz{displaystyle yOz} и zOx{displaystyle zOx} будут выражаться формулами:

JxOy=∑i=1nmizi2 ,{displaystyle J_{xOy}=sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2} ,}

JyOz=∑i=1nmixi2 ,{displaystyle J_{yOz}=sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2} ,}

JzOx=∑i=1nmiyi2 .{displaystyle J_{zOx}=sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2} .}

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Осевой момент инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина

J_a

, равная сумме произведений масс всех

n

системы на квадраты их расстояний до оси

^[1]

Ja=∑i=1nmiri2,{displaystyle J_{a}=sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},}

где:

Осевой момент инерции тела

J_a

является мерой инертности тела во

вокруг оси подобно тому, как

тела является мерой его инертности в

Ja=∫(m)r2dm=∫(V)ρr2dV,{displaystyle J_{a}=int limits _{(m)}r^{2}dm=int limits _{(V)}rho r^{2}dV,}

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Ja=ρ∫(V)r2dV.{displaystyle J_{a}=rho int limits _{(V)}r^{2}dV.}

Применяем второй закон ньютона для вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона (см. главу 5), ускорение объекта под действием силы пропорционально величине силы и обратно пропорционально массе объекта:

где ​( mathbf{a} )​ — это вектор ускорения, ( mathbf{F} ) — вектор силы, а ​( m )​ — масса объекта. Подробнее о векторах рассказывается в главе 4. Соблюдается ли этот закон для вращательного движения?

В главе 10 мы уже познакомились характеристиками вращательного движения, которые являются эквивалентами (аналогами) некоторых характеристик поступательного движения. А как будет выглядеть аналог у второго закона Ньютона? Похоже, что во вращательном движении роль ускорения ( mathbf{a} ) играет угловое ускорение ( alpha ), а роль силы ( mathbf{F} ) — момент силы ( mathbf{M} )?

Не вдаваясь в подробности, скажем лишь, что это действительно так. А что же с массой? Оказывается, что для этого используется новое понятие — момент инерции ​( l )​. Известно, что второй закон Ньютона для вращательного движения принимает следующий вид:

Рассмотрим простой пример. Пусть привязанный нитью мячик для игры в гольф вращается по окружности, как показано на рис. 11.1. Допустим, что к мячику приложена направленная по касательной к окружности тангенциальная сила, которая приводит к увеличению тангенциальной скорости мячика.

Поскольку:

то, умножая обе части этой формулы на радиус окружности ​( r )​, получим:

Поскольку ​( rmathbf{F}=mathbf{M} )​ то

или

Таким образом, частично совершен переход от второго закона Ньютона для поступательного движения к его аналогу для вращательного движения. (Следует отметить, что это выражение справедливо для материальной точки, т.е. объекта, размерами которого можно пренебречь по сравнению с величиной радиуса окружности ​( r )​.

Примечания

Работа при вращательном движении

Допустим, что инженеру в области автомобилестроения необходимо рассчитать параметры революционно новой шины колеса. Для начала он решил оценить работу, которую необходимо выполнить для ускоренного раскручивания этой шины. Как связать работу при поступательном движении и работу при вращательном движении?

Инженер предложил простую, как все гениальное, идею: “связать” шину веревкой. Точнее говоря, он предложил намотать веревку на шину, потянуть за веревку с помощью внешней силы и раскрутить шину. Так, приравнивая работу внешней силы при поступательном движении веревки и работу ускорения вращательного движения шины, можно, образно говоря, “связать” их веревкой.

Пусть шина имеет радиус ​( r )​ и для ее вращения используется сила ​( F )​, как показано на рис. 11.3.

Чему равна работа этой силы? Применим знакомую нам формулу:

где ​( s )​ — это перемещение веревки под действием этой силы. В данном примере перемещение ​( s )​ равно произведению радиуса ​( r )​ на угол поворота шины ​( theta )​:

Подставляя это выражение в формулу работы, получим:

Поскольку момент ​( M )​, создаваемой этой силой, равен:

то получаем для работы:

Таким образом, работа при вращательном движении равна произведению момента силы и угла поворота. Она измеряется в тех же единицах, что и работа при поступательном движении, т.е. в джоулях.

Учтите, что для описания вращательного движения в этих формулах работы угол нужно указывать в радианах.

Вот еще один пример. Пусть пропеллер самолета совершает 100 поворотов с постоянным моментом силы 600 Н·м. Какую работу выполняет двигатель самолета? Для ответа на этот вопрос начнем с уже известной нам формулы:

Полный оборот соответствует повороту на угол ​( 2pi )​. Подставляя значения в формулу, получим:

Что происходит с выполненной таким образом работой? Она преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения.

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором s→=‖sx,sy,sz‖T,|s→|=1{displaystyle {vec {s}}=leftVert s_{x},s_{y},s_{z}rightVert ^{T},leftvert {vec {s}}rightvert =1}, можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

Is=s→T⋅J^⋅s→,{displaystyle I_{s}={vec {s}}^{T}cdot {hat {J}}cdot {vec {s}},qquad } (1)

где J^{displaystyle {hat {J}}} — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры 3×3{displaystyle 3times 3} и состоит из компонент центробежных моментов:

J^=‖Jxx−Jxy−Jxz−JyxJyy−Jyz−Jzx−JzyJzz‖,{displaystyle {hat {J}}=leftVert {begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}end{array}}rightVert ,}

Jxy=Jyx,Jxz=Jzx,Jzy=Jyz,{displaystyle J_{xy}=J_{yx},quad J_{xz}=J_{zx},quad J_{zy}=J_{yz},quad }Jxx=∫(m)(y2 z2)dm,Jyy=∫(m)(x2 z2)dm,Jzz=∫(m)(x2 y2)dm.{displaystyle J_{xx}=int limits _{(m)}(y^{2} z^{2})dm,quad J_{yy}=int limits _{(m)}(x^{2} z^{2})dm,quad J_{zz}=int limits _{(m)}(x^{2} y^{2})dm.}

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора J^{displaystyle {hat {J}}}:

J^d=Q^T⋅J^⋅Q^,{displaystyle {hat {J}}_{d}={hat {Q}}^{T}cdot {hat {J}}cdot {hat {Q}},}

J^d=‖JX000JY000JZ‖,{displaystyle {hat {J}}_{d}=leftVert {begin{array}{ccc}J_{X}&0&0\0&J_{Y}&0\0&0&J_{Z}end{array}}rightVert ,}

где Q^{displaystyle {hat {Q}}} — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины JX,JY,JZ{displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}} — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

Is=JX⋅sx2 JY⋅sy2 JZ⋅sz2,{displaystyle I_{s}=J_{X}cdot s_{x}^{2} J_{Y}cdot s_{y}^{2} J_{Z}cdot s_{z}^{2},}

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на Is{displaystyle I_{s}}

(sxIs)2⋅JX (syIs)2⋅JY (szIs)2⋅JZ=1{displaystyle left({s_{x} over {sqrt {I_{s}}}}right)^{2}cdot J_{X} left({s_{y} over {sqrt {I_{s}}}}right)^{2}cdot J_{Y} left({s_{z} over {sqrt {I_{s}}}}right)^{2}cdot J_{Z}=1}

и произведя замены:

ξ=sxIs,η=syIs,ζ=szIs,{displaystyle xi ={s_{x} over {sqrt {I_{s}}}},eta ={s_{y} over {sqrt {I_{s}}}},zeta ={s_{z} over {sqrt {I_{s}}}},}

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ξηζ{displaystyle xi eta zeta }:

ξ2⋅JX η2⋅JY ζ2⋅JZ=1.{displaystyle xi ^{2}cdot J_{X} eta ^{2}cdot J_{Y} zeta ^{2}cdot J_{Z}=1.}

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

r2=ξ2 η2 ζ2=(sxIs)2 (syIs)2 (szIs)2=1Is.{displaystyle r^{2}=xi ^{2} eta ^{2} zeta ^{2}=left({s_{x} over {sqrt {I_{s}}}}right)^{2} left({s_{y} over {sqrt {I_{s}}}}right)^{2} left({s_{z} over {sqrt {I_{s}}}}right)^{2}={1 over I_{s}}.}

Теорема гюйгенса — штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела

J

относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела

J_c

относительно оси, проходящей через

тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения

тела

m

на квадрат расстояния

d

между осями

^[1]

J=Jc md2,{displaystyle J=J_{c} md^{2},}

где

m

 — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

J=Jc md2=112ml2 m(l2)2=13ml2.{displaystyle J=J_{c} md^{2}={frac {1}{12}}ml^{2} mleft({frac {l}{2}}right)^{2}={frac {1}{3}}ml^{2}.}

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции) JO{displaystyle J_{O}}  — это величина, определяемая выражением^[9]:

Ja=∫(m)r2dm=∫(V)ρr2dV,{displaystyle J_{a}=int limits _{(m)}r^{2}dm=int limits _{(V)}rho r^{2}dV,}

где:

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей[9]:

JO=12(Jx Jy Jz),{displaystyle J_{O}={frac {1}{2}}left(J_{x} J_{y} J_{z}right),}

JO=JxOy JyOz JxOz.{displaystyle J_{O}=J_{xOy} J_{yOz} J_{xOz}.}

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины[1][7]:

Jxy=∫(m)xydm=∫(V)xyρdV,{displaystyle J_{xy}=int limits _{(m)}xydm=int limits _{(V)}xyrho dV,}

Jxz=∫(m)xzdm=∫(V)xzρdV,{displaystyle J_{xz}=int limits _{(m)}xzdm=int limits _{(V)}xzrho dV,}

Jyz=∫(m)yzdm=∫(V)yzρdV,{displaystyle J_{yz}=int limits _{(m)}yzdm=int limits _{(V)}yzrho dV,}

где

xyz

 — координаты малого элемента тела

dVρdm

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции

J_xyJ_xz

одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу.

Моменты инерции тела

относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке

O

тела, называются

главными моментами инерции

данного тела

^[7]

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции[7].